来自ip:11.117.192.104的同学咨询
问题描述:
求下列积分∫(0到1)x(1-x^4)^3/2dx
最佳答案:
∫[0→1] x(1-x^4)^(3/2) dx=(1/2)∫[0→1] (1-x^4)^(3/2) d(x²)令x²=y=(1/2)∫[0→1] (1-y²)^(3/2) dy令y=sinu,则(1-y²)^(3/2)=cos³u,dy=cosudu,u:0→π/2=(1/2)∫[0→π/2] (cosu)^4 du=(1/8)∫[0→π/2] (1 cos2u)² du=(1/8)∫[0→π/2] (1 2cos2u cos²2u) du=(1/8)∫[0→π/2] [1 2cos2u (1/2)(1 cos4u)] du=(1/8)[3u/2 sin2u (1/8)sin4u] |[0→π/2]=3π/32 【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
◎如果您对该问题有其他更好的理解,希望您回答出来,感谢您的奉献。
∫[0→1] x(1-x^4)^(3/2) dx
=(1/2)∫[0→1] (1-x^4)^(3/2) d(x²)
令x²=y
=(1/2)∫[0→1] (1-y²)^(3/2) dy
令y=sinu,则(1-y²)^(3/2)=cos³u,dy=cosudu,u:0→π/2
=(1/2)∫[0→π/2] (cosu)^4 du
=(1/8)∫[0→π/2] (1 cos2u)² du
=(1/8)∫[0→π/2] (1 2cos2u cos²2u) du
=(1/8)∫[0→π/2] [1 2cos2u (1/2)(1 cos4u)] du
=(1/8)[3u/2 sin2u (1/8)sin4u] |[0→π/2]
=3π/32
【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.