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问题描述：
求下列积分∫(0到1)x(1-x^4)^3/2dx
最佳答案：
∫[0→1] x(1-x^4)^(3/2) dx=(1/2)∫[0→1] (1-x^4)^(3/2) d(x²)令x²=y=(1/2)∫[0→1] (1-y²)^(3/2) dy令y=sinu,则(1-y²)^(3/2)=cos³u,dy=cosudu,u：0→π/2=(1/2)∫[0→π/2] (cosu)^4 du=(1/8)∫[0→π/2] (1 cos2u)² du=(1/8)∫[0→π/2] (1 2cos2u cos²2u) du=(1/8)∫[0→π/2] [1 2cos2u (1/2)(1 cos4u)] du=(1/8)[3u/2 sin2u (1/8)sin4u] |[0→π/2]=3π/32 【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
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∫[0→1] x(1-x^4)^(3/2) dx
=(1/2)∫[0→1] (1-x^4)^(3/2) d(x²)
令x²=y
=(1/2)∫[0→1] (1-y²)^(3/2) dy
令y=sinu,则(1-y²)^(3/2)=cos³u,dy=cosudu,u：0→π/2
=(1/2)∫[0→π/2] (cosu)^4 du
=(1/8)∫[0→π/2] (1 cos2u)² du
=(1/8)∫[0→π/2] (1 2cos2u cos²2u) du
=(1/8)∫[0→π/2] [1 2cos2u (1/2)(1 cos4u)] du
=(1/8)[3u/2 sin2u (1/8)sin4u] |[0→π/2]
=3π/32
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