23
2019
03

已知动圆p与圆e:(x 3)2 y2=25相切,且与圆f:(x-3)2 y2=1都内切,记圆心p的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程;(2)直线l与曲线c交于点a,b,点m为线段ab的中点,若|om|

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问题描述:

已知动圆p与圆e:(x

3
)2 y2=25相切,且与圆f:(x-
3
)2 y2=1都内切,记圆心p的轨迹为曲线c.
(1)求曲线c的方程;
(2)直线l与曲线c交于点a,b,点m为线段ab的中点,若|om|=1,求△aob面积的最大值.

最佳答案:

(1)设动圆p的半径为r,由已知|pe|=r 5,|pf|=1-r,
则有|pe| |pf|=6>2

3

∴p的轨迹是以e,f为焦点的椭圆,且a=3,c=
3
,b=
6

∴曲线c的方程为
x2
9
y2
6
=1;
(2)设直线l:x=my n,a(x1,y1),b(x2,y2),
代入椭圆方程,整理得:(3 2m2)y2 4mny 2n2-18=0①
y1 y2=-
4mn
3 2m2
,y1•y2=
2n2-18
3 2m2
,x1 x2=
6n
3 2m2

由中点坐标公式可知:m(
3n
3 2m2
,-
2mn
3 2m2

∵|om|=1,
∴n2=
(3 2m2)2
9 4m2
②,…(8分)
设直线l与x轴的交点为d(n,0),
则△aob面积s2=
1
4
n2(y1-y2)2=
12(2m2 3)(12 5m2)
(9 4m2)2

设t=4m2 9(t≥9),
则s2=-
3
2
[9(
1
t
2
3
)2 1],当t=9时,即m=0时,
△aob的面积取得最大值
16
3
…(12分)

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