问题描述:
已知函数f(x)=ax bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=
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①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈r,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
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问题描述:
已知函数f(x)=ax bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=
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函数f(x)=ax bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=
①方程f(x)=2;即:2x
②不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,即22x
令t=2x
不等式化为:t2-mt 4≥0在t≥2时,恒成立.可得:△≤0或
即:m2-16≤0或m≤4,
∴m∈(-∞,4].
实数m的最大值为:4.
(2)g(x)=f(x)-2=ax bx-2,
g′(x)=axlna bxlnb=ax[
01可得
令h(x)=(
因此,x0=log
因此x∈(-∞,x0)时,h(x)<0,axlnb>0,则g′(x)<0.
x∈(x0, ∞)时,h(x)>0,axlnb>0,则g′(x)>0,
则g(x)在(-∞,x0)递减,(x0, ∞)递增,因此g(x)的最小值为:g(x0).
①若g(x0)<0,x
因此x1
则g(x)至少有两个零点,与条件矛盾.
②若g(x0)>0,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,g(x)的最小值为g(x0),可得g(x0)=0,
由g(0)=a0 b0-2=0,
因此x0=0,因此log
可得ab=1.