05
2019
04

已知函数f(x)=ax bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=12.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈r,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最

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问题描述:

已知函数f(x)=ax bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=

1
2

①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈r,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.

最佳答案:

函数f(x)=ax bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=

1
2

①方程f(x)=2;即:2x
1
2x
=2,可得x=0.
②不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,即22x
1
22x
≥m(2x
1
2x
)-6恒成立.
令t=2x
1
2x
,t≥2.
不等式化为:t2-mt 4≥0在t≥2时,恒成立.可得:△≤0或
m
2
≤2
22-2m 4≥0

即:m2-16≤0或m≤4,
∴m∈(-∞,4].
实数m的最大值为:4.
(2)g(x)=f(x)-2=ax bx-2,
g′(x)=axlna bxlnb=ax[
lna
lnb
(
b
a
)x]lnb,
01可得
b
a
>1,
令h(x)=(
b
a
)x
lna
lnb
,则h(x)是递增函数,而,lna<0,lnb>0,
因此,x0=log
b
a
(-
lna
lnb
)时,h(x0)=0,
因此x∈(-∞,x0)时,h(x)<0,axlnb>0,则g′(x)<0.
x∈(x0, ∞)时,h(x)>0,axlnb>0,则g′(x)>0,
则g(x)在(-∞,x0)递减,(x0, ∞)递增,因此g(x)的最小值为:g(x0).
①若g(x0)<0,xaloga2=2,bx>0,则g(x)>0,
因此x10,因此g(x)在(x1,x0)有零点,
则g(x)至少有两个零点,与条件矛盾.
②若g(x0)>0,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,g(x)的最小值为g(x0),可得g(x0)=0,
由g(0)=a0 b0-2=0,
因此x0=0,因此log
b
a
(-
lna
lnb
)=0,-
lna
lnb
=1,即lna lnb=0,ln(ab)=0,则ab=1.
可得ab=1.

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