05
2019
04

已知函数f（x）=ax bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=12．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈r，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求实数m的最

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问题描述：

已知函数f（x）=ax bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=

1
2
．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈r，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若01，函数g（x）=f（x）-2有且只有1个零点，求ab的值．
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最佳答案：

函数f（x）=ax bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=

1
2
．
①方程f（x）=2；即：2x
1
2x
=2，可得x=0．
②不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，即22x
1
22x
≥m（2x
1
2x
）-6恒成立．
令t=2x
1
2x
，t≥2．
不等式化为：t2-mt 4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或
m
2
≤2
22-2m 4≥0

即：m2-16≤0或m≤4，
∴m∈（-∞，4]．
实数m的最大值为：4．
（2）g（x）=f（x）-2=ax bx-2，
g′（x）=axlna bxlnb=ax[
lna
lnb
 (
b
a
)x]lnb，
01可得
b
a
>1，
令h（x）=(
b
a
)x
lna
lnb
，则h（x）是递增函数，而，lna<0，lnb>0，
因此，x0=log
b
a
(-
lna
lnb
)时，h（x0）=0，
因此x∈（-∞，x0）时，h（x）<0，axlnb>0，则g′（x）<0．
x∈（x0， ∞）时，h（x）>0，axlnb>0，则g′（x）>0，
则g（x）在（-∞，x0）递减，（x0， ∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．
①若g（x0）<0，xaloga2=2，bx>0，则g（x）>0，
因此x10，因此g（x）在（x1，x0）有零点，
则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x0）>0，函数g（x）=f（x）-2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，
由g（0）=a0 b0-2=0，
因此x0=0，因此log
b
a
(-
lna
lnb
)=0，-
lna
lnb
=1，即lna lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．
可得ab=1．

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