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2019
04

关于反三角函数为何是多值函数的问题……tot本人数学基础不好,所以上了一节高数课感觉头脑十分混乱,1、某函数的反函数存在的条件必须是原函数在定义域上严格单调,2、如果某函数不是

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问题描述:

关于反三角函数为何是多值函数的问题……
tot 本人数学基础不好,所以上了一节高数课感觉头脑十分混乱,
1、某函数的反函数存在的条件必须是原函数在定义域上严格单调,
2、如果某函数不是单调函数,而它在定义域的某区间内单调,也只能说这函数在这一区间内存在反函数,
(我不是很确定自己对反函数的理解是否有错误)
3、三角函数也同理的话,那么所谓的反三角函数也只不过是三角函数在某一区间(而且还是单调区间)上的反函数罢了,这样理解没错吧?
4、也就是说,反三角函数也应该是单调的才对不是吗?为什么它是多值函数呢?
(另外请别说“三角函数本来就是多值函数,没什么可怀疑的”之类的话,我并非是质疑它的定义,只是想知道自己的想法到底哪里出了问题而已……)
啊啊……我没说清楚啊……我说的单调就是指单调递增或单调递减

最佳答案:

看得出来lz是经过自己思考的,这很好~
按照中学里反函数的定义,lz的理解基本正确!只是"1"有一点小问题:f有反函数的充要条件是f为单射,并不一定f严格单调.如果定义在某区间上的函数f连续,那么f为单射等价于f严格单调.如果f不连续,那么f有反函数未必需要f严格单调.
除此之外,2,3,4都是正确的.在严格的函数意义下,三角函数整体不是单射,无反函数.三角函数限定在一个单调区间内形成了一个新函数,反三角函数是指这个新函数的反函数.由于原函数是单调的,反三角函数确实也是单调的.
当然,以上讨论限制在严格的函数概念上.书上说的意思是允许考虑所谓“多值函数”,这里要注意,多值函数不是严格意义上的函数,因为一个自变量可能应该到多于一个的函数值.
用映射的语言说,f:a->b是个满射.如果f不单,那么f逆不是映射.但是如果对任意y∈b,定义f^(y)={x∈a:f(x)=y},尽管f^未必是映射,还是可以把f^称为b->a的一个“多值函数”,这时f^在某点处的值可能并不是一个数而是一个集合.“多值函数”实际是函数概念的一种推广.
以f(x)=sinx,x∈r为例.它不是单射,无严格意义下的反函数,因为对y∈[-1,1],满足sinx=y,x∈r的x不止一个.但在上面所说的“多值函数”意义下,f可以有反函数f^,f^在某点取值为一个数集,例如f^(0)={kπ:k为整数}.
简单来说,你的理解基本没问题.书上这样说是因为它考虑了多值函数,这已经超出了严格意义上的“函数”概念,是一种推广的函数.

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