17
2019
04

如图,已知点a,点b在第一,三象限的角平分线上,p为直线ab上的一点,pa=pb,am、bn分别垂直与x轴、y轴,连接pm、pn.(1)求直线ab的解析式;(2)如图1,p、a、b在第三象限,猜想pm

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问题描述:

如图,已知点a,点b在第一,三象限的角平分线上,p为直线ab上的一点,pa=pb,am、bn分别垂直与x轴、y轴,连接pm、pn.

(1)求直线ab的解析式;
(2)如图1,p、a、b在第三象限,猜想pm,pn之间的关系,并说明理由;
(3)点p、a在第三象限,点b在第一象限,如图2其他条件不变,(2)中的结论还成立吗,请证明你的结论.

最佳答案:

(1)∵点a,点b在第一,三象限的角平分线上,
∴直线ab的解析式是y=x;

(2)pm=pn且pm⊥pn,
理由是:过p作pe⊥x轴于e,pf⊥y轴于f,过a作aq⊥y轴于q,
∵a在第一、三象限的角平分线上,pm⊥x轴于m,
∴am=aq,∠amo=90°,∠moa=45°,
∴∠mao=∠moa=45°,
∴om=am,
同理oq=aq,
∴om=oq,
同理oe=of,pe=pf,
在△mep和△nfp中

me=nf
∠mep=∠nfp=90°
pe=pf

∴△mep≌△nfp(sas),
∴pm=pn,∠epm=∠npf,
∵pe⊥x轴,pf⊥y轴,x轴⊥y轴,
∴∠eof=∠oep=∠ofp=90°,
∴∠epf=90°,
∴∠mpn=∠mpe ∠epn=∠fpn ∠epn=∠epf=90°,
即pm⊥pn;
(3)成立;

证明:延长bn交am于e,连接ep,
∵a、b在第一、三象限角的角平分线上,
∴∠moa=∠bon=45°,
∵∠bno=∠amo=90°,
∴∠nbo=∠eao=∠nob=45°,
∴ae=be,bn=on,
∵∠eno=∠nom=∠emo=90°,
∴四边形emon是矩形,
∴me=on=bn,∠aeb=90°,
∵p为ab中点,ae=be,
∴∠mep=∠nbp=45°,ep=pb,∠epb=90°,
在△emp和△bnp中
ep=bp
∠mep=∠nbp
em=bn

∴△emp≌△bnp(sas),
∴pm=pn,∠epm=∠npb,
∵∠epb=90°,
∴∠mpn=∠mpe ∠epn=∠bpn ∠epn=∠epb=90°,
即pm⊥pn.

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