17
2019
04

如图,已知抛物线y=ax2 bx c(a>0,c<0)交x轴于点a,b,交y轴于点c.(1)若△abc为直角三角形,求a•c的值;(2)在a=1的条件下,①若b=-2,c=-3,点d为抛物

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问题描述:

如图,已知抛物线y=ax2 bx c(a>0,c<0)交x轴于点a,b,交y轴于点c.

(1)若△abc为直角三角形,求a•c的值;
(2)在a=1的条件下,
①若b=-2,c=-3,点d为抛物线上的动点,求满足△abd为直角三角形的点d的坐标.
②若过点a、b、c三点的圆交y轴于另一点e,证明:不论b,c取何值,点e为定点.

最佳答案:

(1) 如图1中,设a(x1,0),b(x2,0),

∵△abc是直角三角形,
∴∠acb=90°,
∵∠aco ∠cao=90°,∠cab ∠cbo=90°,
∴∠aco=∠cbo,∵∠aoc=∠boc=90°,
∴△aoc∽△cob,

oa
co
=
co
ob

∴oc2=oa•ob,
∵oc=-c,oa•ob=-x1•x2,x1x2=
c
a

∴c2=-x1x1,
∴c2=-
c
a

∴ac=-1.

(2)①如图2中,设ab的中点为k(1,0),d(m,m2-2m-3).

由题意kd=2,
∴(m-1)2 (m2-2m-3)2=4,
∴m2-2m 1 (m2-2m-3)2=4,
∴m2-2m-3 (m2-2m-3)2=0,
∴(m2-2m-3)(1 m2-2m-3)=0,
∴m2-2m-3=0或m2-2m-2=0,
解得m=1
3
或1-
3
或-1或3,(m=-1或m=3不合题意舍弃)
∴d(1-
3
,-1),d′(1
3
,-1).

②证明:如答图3,连接ad、bc.

∵∠ado=∠cbo,∠dao=∠bco,
∴△aoe∽△cob,
oe
ob
=
oa
oc

设a(x1,0),b(x2,0),
∵已知抛物线y=x2 bx c(c<0),∴oc=-c,x1x2=c.
oe
x2
=
x1
-c

∴oe=
-x1x2
-c
=
-c
-c
=1
∴无论b,c取何值,点e均为定点,该定点坐标e(0,1).

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