05
2019
05

将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮,求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.

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问题描述:

将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮,求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.

最佳答案:

如图1所示,使a’b=bc’=c’d’=d’a’=12-3=9(厘米),则正方形a’bc’d’的面积为9×9=8l(平方厘米).
如图2所示,使aa’=bb’=cc’=dd‘=3(厘米),则正方形a’b’c’d’的面积为
12×12-4×

1
2
×3×(12-3)=90(平方厘米).
如图3所示,连接ac交曲线于点a’,使a’b’=b’c=cd’=d’a’.观察图3可知
a’b’=12-1.5=10.5(厘米).(注:a’b’的长度在(10.5士0.2)厘米之间均可.连接ac与缺损的边缘交与a'点,过a'分别作ab和ad的平行线a'b'和a'd',a'd'延长与ab交与一点h,a'h是缺损三角形的中位线,根据中位线的性质,同样平分另一边,因此ah的长是3除以2等于1.5,a'b'=bh=ab-ah=12-1.5=10.5,当然,这只是一个近似值)
于是正方形a’b’cd’的面积为10.5×10.5=110.25(平方厘米).

因为81<90<110.25,所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.
答:剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.

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