05
2019
05

将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值．

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问题描述：

将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值．

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最佳答案：

如图1所示，使a’b=bc’=c’d’=d’a’=12-3=9（厘米），则正方形a’bc’d’的面积为9×9=8l（平方厘米）．
如图2所示，使aa’=bb’=cc’=dd‘=3（厘米），则正方形a’b’c’d’的面积为
12×12-4×

1
2
×3×（12-3）=90（平方厘米）．
如图3所示，连接ac交曲线于点a’，使a’b’=b’c=cd’=d’a’．观察图3可知
a’b’=12-1.5=10.5（厘米）．（注：a’b’的长度在（10.5士0.2）厘米之间均可．连接ac与缺损的边缘交与a'点，过a'分别作ab和ad的平行线a'b'和a'd'，a'd'延长与ab交与一点h，a'h是缺损三角形的中位线，根据中位线的性质，同样平分另一边，因此ah的长是3除以2等于1.5，a'b'=bh=ab-ah=12-1.5=10.5，当然，这只是一个近似值）
于是正方形a’b’cd’的面积为10.5×10.5=110.25（平方厘米）．

因为81＜90＜110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米．
答：剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米．

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