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2019
06

设各项均为正数的数列{an}的前n项之积为tn,若log2tn=n2 n,则an 122n的最小值为.

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问题描述:

设各项均为正数的数列{an}的前n项之积为tn,若log2tn=n2 n,则

an 12
2n
的最小值为___.

最佳答案:

∵log2tn=n2 n,
∴tn=2n2 n,
∴当n≥2时,an=

tn
tn-1
=
2n2 n
2(n-1)2 (n-1)
=22n=4n.
an 12
2n
=
22n 12
2n
=2n
12
2n

令f(x)=x
12
x
,(x≥2),
f′(x)=1-
12
x2
=
x2-12
x2

当2≤x≤
12
时,函数f(x)单调递减;当
12
≤x时,函数f(x)单调递增.
∴当n=3时,23
12
23
=
19
2
;当n=4时,24
19
24
=17
3
16
>
19
2

∴则
an 12
2n
的最小值为
19
2

故答案为:
19
2

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